?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry | Next Entry

Физика и Математика - 2

Это продолжение моего публичного объяснения в любви физике и математике. Начало тут

2. Теорема Геделя о неполноте.

Во-первых, это никакая не теория, а теорема (что, впрочем еще круче), а, во-вторых, я её уже упоминал несколько раз в заметках, но это настолько феерически умопомрачительная тема, что не грех вспомнить о ней еще разок. В 30 году прошлого века Курт Гедель, который (мрачно завидую) был на 8 лет моложе чем я сейчас, доказал теорему о неполноте (на самом деле это две теоремы). В вольном пересказе, можно сказать что теоремы утверждают следующее:
- В теории чисел существуют формулы, которые нельзя вывести или доказать.
- Дополнить теорию чисел чем-нибудь что позволит вывести все формулы невозможно, потому что теория чисел станет противоречивой и непригодной к использованию.

Кажется, всё равно, получилось слишком наукообразно. Ну да, ладно, важно здесь то что доказательство теоремы Геделя обобщается на любые формальные системы, это и означает что любая система основанная на логике ограничена или, если смотреть шире, что мир принципиально непознаваем при помощи научных методов. Всегда будут истины, в том числе из области науки, до которых ум, ни человеческий, ни искусственный не смогут дотянуться.

Кто-нибудь наверняка скажет, что, типа, тоже мне открытие “британских ученых”, я и так знал(а) что мир непознаваем. Но, во-первых, разница между умозрительным знанием и научным просто титаническая - в одном случае знание ценно лишь для одного человека (ну, м.б. + окружение), в другом - для миллиардов людей. А, во-вторых, и это особенно круто, ограниченность теории чисел была доказана не какими-нибудь общими убедительными словами. Ограниченность теории чисел была доказана посредством самой же теории чисел. Это настолько же фантастично, как если бы теолог нашел потерянную страницу библейского текста где черным по белому написано “Бога нет”.

Отдельного разговора заслуживает само доказательства теоремы. Если бы я был чуть менее ленив, то разобрал бы его подробно прямо здесь. Возможно, когда-нибудь я это сделаю. Сейчас же, скажу только то что методика доказательства довольно интересна и если её немного додумать и обобщить, то можно увидеть насколько мышление человека глубже и мощнее чем любая формальная система, что человек есть существо тесно связанное с вечностью и способность выходить за любые формальные границы есть в каждом из нас априори. Лично меня особенно поражает что философские идеи могут быть сокрыты внутри сухого математического доказательства, и в двойне, что идеи эти настолько романтичны и жизнеутверждающи.

Продолжение будет.


Comments

( 11 comments — Leave a comment )
topaz_tulip
Dec. 16th, 2011 07:15 pm (UTC)
О, круто, хочу продолжения и разбора того самого доказательства)

На самом деле мне вот немного обидно, потому что я последние годы как раз старалась себя убедить, что всё-всё-всё можно разложить по полочкам)
mozgosteb
Dec. 17th, 2011 01:59 am (UTC)
Можно разложить... но одной лишь логики не хватит
topaz_tulip
Dec. 17th, 2011 03:56 am (UTC)
Вот потому и жаль)
Эрнест Кадочников
Feb. 9th, 2012 02:40 pm (UTC)
Особенно интересно, в чем Вы видете "насколько мышление человека глубже и мощнее чем любая формальная система".
mozgosteb
Feb. 9th, 2012 04:12 pm (UTC)
Ох, не хочется затевать этот дискус на ночь глядя - да, боюсь завтра времени не будет)
Использование любой формальной системы построено на логике. Логика - связующий клей между постулатами и конечными фактами и ценность в науке абсолютна. Поэтому не удивительно что философы уделяли время обдумыванию "неразрешимых" логических загадок. Было бы здорово, если бы все высказывания делились на ложные и правдивые. Но как быть с чем-то вроде такого: "черные не выпить пять?" или "эта фраза ложна?". Если первое высказывание интуитивно воспринимается как неправильно построенное, то второе вроде бы построено правильно, но в тоже время - логически противоречиво, не может быть истинным и ложным. Если мы принимаем то что миром правят формальные системы, то мы должны как-то ограничить круг "неправильных" высказываний, формализовать границы применения логики, чтобы исключить из рассмотрения что-то типа "Если Бог может всё, то может ли он создать камень, который не сможет поднять?". Первым шагом на пути к формализации человеческой логики стало запрещение фраз, ссылающихся на самих себя. И, действительно, часть проблем отпала. Но, можно построить систему, где каждая фраза по отдельности может быть истинной или ложной, но все вместе они образую порочный неразрешимый круг. Следующим шагом, стало правило того что в рамках одной формальной системы нельзя говорить ничего о самой этой системе. Таким образом, порочные круги "Следующая фраза ложна. Предыдущая фраза истинна" становятся невозможны. Говорить о следующей фразе нельзя, потому что она находится в рамках той-же формальной системы. Чтобы говорить о формальной системе нужна формальная система более высокого уровня. Т.е. говорить, например, о правилах логики в рамках логики нельзя. Но можно говорить о правилах логики в некой "надлогике". Чтобы говорить о "надлогике" нужна система "над-надлогики" и т.д. Если не допускать смешение уровней, то формальные системы будут устойчивы и будут ясны их границы применимости. Но! Вот, мой любимый пример из одной книги: "В этой главе свой книги я рассказываю...". Глава ссылается на саму себя, ссылается на сущность более верхнего уровня - книгу. А слово "я" вообще выносит нахрен за границы всех этих формальных систем. И, несмотря на то что это ад формальных систем, человек совершенно нормально впитывает эту фразу, счастливо избегая коллапса мозга.
Структура доказательство теоремы Геделя как бы ненавязчиво указывает что способность системы "рассуждать" о самой себе тут же выносит её из рамок логики. Способность человека понимать что-то о самом себе средствами самого себя возвышает его над формальными системами. Это я и имел ввиду.
Эрнест Кадочников
Feb. 9th, 2012 04:21 pm (UTC)
То есть мышление человека глубоко и мощно тем, что не всегда логично. Так?
Эрнест Кадочников
Feb. 9th, 2012 04:25 pm (UTC)
Глава, кстати, не обязательно формальная система, не так ли? Как и книга.
Эрнест Кадочников
Feb. 9th, 2012 04:48 pm (UTC)
Формальная система это символы и правила, применяемые к этим символам. Логика это такая грамматика, "граматика в полном смысле слова", в отличие от грамматик живых языков, на являющихся формальными системами. Высказывания, нарушающие правила логики, просто не имеют смысла. Если я начну нарушать правила обычной грамматики, я тоже дойду от отсутвия смысла, ведь человечя и могут оченней чем мысля не правилом бы вне.
mozgosteb
Feb. 10th, 2012 02:11 am (UTC)
Тут я не ставил задачу рассматривать что-то лежащее за пределами обычной грамматики, поскольку в данном контексте интересны именно возможности человека.
Интересно именно то, что выход за возможности формальных систем человеку доступен и СМЫСЛ при этом не утрачивается.
mozgosteb
Feb. 10th, 2012 12:50 am (UTC)
Нет) Умение мыслить нелогично, это весьма сомнительный навык - вроде умения писать против ветра.
Оно мощно и глубоко тем что охватывает как возможности логики, так и того, куда логика просто не дотягивается (т.е. не в ту область, которую логика считает неверной, а в ту, которая она не рассматривает, потому что не может)
Эрнест Кадочников
Feb. 9th, 2012 02:50 pm (UTC)
В том, что есть, на пример, такие люди (их называют выдающимися математиками), которые доходят до тех самых формул, что нельзя вывести или доказать (и, соответвенно, люди других областей знания, которые получают результаты, невыводимые в рамках соответвующих формальных систем)?
( 11 comments — Leave a comment )